Question

在實數(shù)集R上定義運算：x?y=x（a-y）（a∈R，a為常數(shù)），若f（x）=e^x，g（x）=e^-x+2x²，F(xiàn)（x）=f（x）?g（x），
（Ⅰ）求F（x）的解析式；
（Ⅱ）若F（x）在R上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若a=-3，在F（x）的曲線上是否存在兩點，使得過這兩點的切線互相垂直？若存在，求出切線方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）直接由定義運算，把f（x），g（x）的解析式代入F（x）=f（x）?g（x）整理得答案；
（Ⅱ）對（Ⅰ）中求得的F（x）求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)在R上小于等于0恒成立轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立問題，由判別式的符號得不等式求解a的取值范圍；
（Ⅲ）把a=-3代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，由求得的導(dǎo)函數(shù)恒小于0說明F（x）的曲線上不存的兩點，使得過這兩點的切線點互相垂直．

解答： 解：（I）由定義運算：x?y=x（a-y），得
F（x）=f（x）?g（x）
=f（x）?（a-g（x））
=e^x（a-e^-x-2x²）
=ae^x-1-2x²e^x；
（II）∵F′（x）=ae^x-2x²e^x-4xe^x=-e^x（2x²+4x-a），
又當(dāng)x∈R時，F(xiàn)（x）在減函數(shù)，∴F′（x）≤0對于x∈R恒成立，
即-e^x（2x²+4x-a）≤0恒成立，
∵-e^x＜0，∴2x²+4x-a≥0恒成立，
∴△=16-8（-a）≤0，
∴a≤-2；
（III）當(dāng)a=-3時，F(xiàn)（x）=-3e^x-1-2x²e^x，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是F（x）曲線上的任意兩點，
∵F′（x）=-e^x（2x²+4x+3）
=-e^x[2（x+1）²+1]＜0，
∴F′（x₁）•F′（x₂）＞0，
∴F′（x₁）•F′（x₂）=-1 不成立．
∴F（x）的曲線上不存的兩點，使得過這兩點的切線點互相垂直．

點評：本題是新定義題，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用“三個二次”結(jié)合解決恒成立問題，屬中高檔題．