Question

4．已知f（x）=1og₂$\frac{1-x}{1+x}$．
（1）判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{1-x}{1+x}$＞0，化為（x+1）（x-1）＜0，即可得出定義域，利用單調(diào)性的定義和對數(shù)的運算法則即可證明．（2）利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{1-x}{1+x}$＞0，解得：-1＜x＜1，
即函數(shù)f（x）的定義域是（-1，1），
當0＜x＜1時，f（x）單調(diào)遞增．
證明：設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1
則f（x₁）-f（x₂）=log₂$\frac{1{-x}_{1}}{1{+x}_{1}}$-log₂$\frac{1{-x}_{2}}{1{+x}_{2}}$=log₂$\frac{（1{-x}_{1}）（1{+x}_{2}）}{（1{+x}_{1}）（1{-x}_{2}）}$，
∵（1-x₁）（x₂+1）-（x₁+1）（1-x₂）=2（x₂-x₁）＞0，
∴$\frac{（1{-x}_{1}）（1{+x}_{2}）}{（1{+x}_{1}）（1{-x}_{2}）}$＞1，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴當-1＜x＜1時，f（x）單調(diào)遞減．
（2）∵當-1＜x＜1時，$\frac{1-x}{1+x}$=-1+$\frac{2}{x+1}$，
x→-1時：$\frac{1-x}{1+x}$=-1+$\frac{2}{x+1}$→+∞，x→1時：$\frac{1-x}{1+x}$=-1+$\frac{2}{x+1}$→0，
∴函數(shù)f（x）的值域是（-∞，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的值域和函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．