Question

函數(shù)f(x)=cos2(x-

π

6

)-cos2(x+

π

3

)．
（Ⅰ）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，求f（x）的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，已知sinB=cosAsinC，f(B)=

1

2

，

AB

•

AC

=4

3

，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：綜合題

分析：（Ⅰ）首先將函數(shù)f（x）進(jìn)行化簡，從而根據(jù)定義域確定值域．
（Ⅱ）根據(jù)已知條件求出△ABC中各角的度數(shù)，再利用向量積確定bc的值，從而求出△ABC的面積．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=cos2(x-

π

6

)-cos2(x+

π

3

)
=cos2(x-

π

6

)-sin2[

π

2

-(x+

π

3

)]
=cos2(x-

π

6

)-sin2(x-

π

6

)
=cos(2x-

π

3

)．
由x∈[0，

π

2

]，得2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]
∴f(x)的值域?yàn)閇-

1

2

，1]．
（Ⅱ）∵sinB=cosAsinC
∴cosAsinC=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC
∴sinAcosC=0，
∴C=90°．
f(B)=cos(2B-

π

3

)=

1

2

，-

π

3

＜2B＜

2π

3

．
則2B-

π

3

=

π

3

．
∴B=

π

3

，A=

π

6

．
又∵

AB

•

AC

=cbcosA=

3

2

bc=4

3

．
∴bc=8．
∴S△ABC=

1

2

cbsinA=

1

2

×8×

1

2

=2．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)化簡，正弦定理已經(jīng)向量的綜合知識，屬于中檔題．