Question

如圖，在三棱錐V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D為AB的中點(diǎn)，且AC=BC=VC=a．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面VCD；
（Ⅱ）求點(diǎn)C到平面VAB的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）要證AB⊥平面VCD，利用線面垂直的判定定理，只需證明AB垂直與平面VCD的兩條相交直線即可；
（Ⅱ）依據(jù)V_V-ABC=V_C-VAB，利用等體積法即可得到點(diǎn)C到平面VAB的距離為

3

3

a．

解答： 解：（Ⅰ）證明：∵AC=BC=a
∴△ACB是等腰三角形，
又∵D是AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB，
∵VC⊥底面ABC，∴VC⊥AB，
又∵CD∩VC=C
∴AB⊥平面VCD．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)C到平面VAB的距離為h，據(jù)V_V-ABC=V_C-VAB
即

1

3

×

1

2

•a•a•a=

1

3

×

3

4

(

2

a)2×h，得h=

3

3

a，
所以點(diǎn)C到平面VAB的距離為

3

3

a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和向量法的合理運(yùn)用．