Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（2^x+1）．
（1）求證：函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；
（2）記g（x）=log（2^x-1）（x＞0）．若關(guān)于x的方程g（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；
（2）將方程g（x）=m+f（x）轉(zhuǎn)化為m=g（x）-f（x），然后求出函數(shù)g（x）-f（x）的表達(dá)式，即可求出m的取值范圍．

解答： 解：（1）任設(shè)x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=log?2(2x1+1)-log?2(2x2+1)=log?2

2x1+1

2x2+1

，
∵x₁＜x₂，
∴0＜2x1+1＜2x2+1，
∴log?2

2x1+1

2x2+1

＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
即函數(shù)的在定義域上單調(diào)遞增．
（2）∵g（x）=log（2^x-1）（x＞0）．g（x）=m+f（x）
∴m=g（x）-f（x）=log?2(2x -1)-log?2(2x+1)=log?2

2x-1

2x+1

=log?2(1-

2

2x+1

)，
當(dāng)1≤x≤2時，

2

5

≤

2

2x+1

≤

2

3

，
∴

1

3

≤1-

2

2x+1

≤

3

5

1

3

≤1-

2

2x+1

≤

3

5

，
∴log2

1

3

≤log2(1-

2

2x+1

)≤log2

3

5

，
即m的取值范圍是[log2

1

3

，log2

3

5

]．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的定義以及對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．