Question

10．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段CC₁上的動點，過點A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S．則下列命題正確的是②④（寫出所有正確命題的編號）．
①當0＜CQ＜$\frac{1}{2}$時，S為平行四邊形；
②當CQ=$\frac{1}{2}$時，S為等腰梯形；
③當CQ=$\frac{3}{4}$時，S與C₁D₁的交點R滿足C₁R=$\frac{1}{4}$
④當CQ=1時，S的面積為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

Answer 1

分析 ①當0＜CQ＜$\frac{1}{2}$時，如圖所示，PQ∥AM，PQ≠AM，因此截面S為梯形，不是平行四邊形，即可判斷出正誤；
②當CQ=$\frac{1}{2}$時，如圖所示，由①可知：截面APQD₁是梯形，利用平行線的性質(zhì)可得：AP=QD₁，即可判斷出S的形狀；
③當CQ=$\frac{3}{4}$時，如圖所示，AP∩DC=O，點P是BC的中點，可得CO=CD=AB，可得$\frac{{C}_{1}R}{CO}=\frac{{C}_{1}Q}{QC}=\frac{1}{3}$，即可得出C₁R，進而判斷出正誤．
④當CQ=1時，如圖所示，截面S即APC₁E是菱形，對角線長度分別為$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$，即可得出面積．

解答 解：對于①，當0＜CQ＜$\frac{1}{2}$時，如圖所示，PQ∥AM，PQ≠AM，因此截面S為梯形，不是平行四邊形，故①不正確；

對于②，當CQ=$\frac{1}{2}$時，如圖所示，由①可知：截面APQD₁是梯形，利用平行線的性質(zhì)可得：AP=QD₁，因此可得：S為等腰梯形，故②正確；
對于③，當CQ=$\frac{3}{4}$時，如圖所示，AP∩DC=O，∵點P是BC的中點，可得CO=CD=AB，∴$\frac{{C}_{1}R}{CO}=\frac{{C}_{1}Q}{QC}=\frac{1}{3}$，∴S與C₁D₁的交點R滿足C₁R=$\frac{1}{3}$，故③不正確；
對于④，當CQ=1時，如圖所示，截面S即APC₁E是菱形，對角線長度分別為$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$，
S的面積=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{2}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，故④正確．
故答案為：②④．

點評 本題考查了空間位置關(guān)系、平行線的性質(zhì)、線面平行的判定與性質(zhì)，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．