Question

15．函數(shù)f（x）是偶函數(shù)且滿足f（x+2）=-f（x），當x∈[0，2]時，f（x）=x-1，則不等式xf（x）＜0在[-2，3]上的解集為（　�。�

• A． （1，3）
• B． （-1，1）
• C． （-1，0）∪（1，3）
• D． （-2，-1）∪（0，1）

Answer 1

分析 可設x∈[0，2]，從而可求出f（x+2）=-x+1，可設x+2=t，t∈[2，4]，這便可得到f（t）=-t+3，而根據(jù)f（x）為偶函數(shù)，可設x∈[-2，0），從而可求得f（x）=-x-1．這樣便可得出f（x）的解析式：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-1}&{x∈[-2，0）}\\{x-1}&{x∈[0，2]}\\{-x+3}&{x∈（2，3]}\end{array}\right.$，這樣即可解出不等式xf（x）＜0的解集．

解答 解：設x∈[0，2]，則，f（x+2）=-f（x）=-x+1；
即f（x+2）=-x+1，設x+2=t，t∈[2，4]，x=t-2，則：
f（t）=-t+3；
設x∈[-2，0），-x∈（0，2]，f（x）為偶函數(shù)；
∴f（-x）=-x-1=f（x）；
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{-x-1}&{x∈[-2，0）}\\{x-1}&{x∈[0，2]}\\{-x+3}&{x∈（2，3]}\end{array}\right.$；
∴由xf（x）＜0得，$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.，或\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜x≤2}\\{x-1＜0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{2＜x≤3}\\{-x+3＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x＜0}\\{-x-1＞0}\end{array}\right.$；
解得0＜x＜1，或-2≤x＜-1；
∴不等式xf（x）＜0在[-2，3]上的解集為（-2，-1）∪（0，1）．
故選D．

點評 考查偶函數(shù)的定義，應想著求函數(shù)f（x）的解析式是求解本題的關鍵，將不等式變成幾個不等式從而解不等式的方法．