Question

開灤二中的學(xué)生王丫丫同學(xué)在設(shè)計計算函數(shù)f（x）=

sin2(3π-x)

sin(π-x)+cos(π+x)

+

cos(x-2π)

1+tan(π-x)

的值的程序時，發(fā)現(xiàn)當(dāng)sinx和cosx滿足方程2y²-（

2

+1）y+k=0時，無論輸入任意實數(shù)x，f（x）的值都不變，你能說明其中的道理嗎？這個定值是多少？你還能求出k的值嗎？

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計算題,三角函數(shù)的求值

分析：利用三角函數(shù)中的恒等變換可求得f（x）=sinx+cosx，利用sinx和cosx是方程2y²-（

2

+1）y+k=0的兩根可求得，f（x）=sinx+cosx=

2 +1

2

，sinx•cosx=

k

2

，繼而可得k．

解答： 解：∵f（x）=

sin2(3π-x)

sin(π-x)+cos(π+x)

+

cos(x-2π)

1+tan(π-x)

=

sin2x

sinx-cosx

+

cosx

1- sinx cosx

=

sin2x-cos2x

sinx-cosx

=sinx+cosx，
又sinx和cosx是方程2y²-（

2

+1）y+k=0的兩根，
∴sinx+cosx=

2 +1

2

，sinx•cosx=

k

2

，
∴f（x）=sinx+cosx=

2 +1

2

，始終是個定值，與變量x無關(guān)，這個定值為

2 +1

2

．
對sinx+cosx=

2 +1

2

兩端分別平方得：1+2sinx•cosx=

3+2 2

4

，
∴sinx•cosx=

2 2 -1

4

，
解得k=

2 2 -1

4

．

點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換，考查誘導(dǎo)公式與二倍角公式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力，屬于中檔題．