Question

已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+2f（2），且f（-1）=2，則f（2013）等于（　�。�

• A、2
• B、3
• C、4
• D、6

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)偶函數(shù)的定義，結(jié)合f（x+4）=f（x）+2f（2），令x=-2，求出f（2）=0，從而函數(shù)f（x）是周期為4的函數(shù)，f（2013）=f（1），再由偶函數(shù)的定義得f（1）=f（-1），由條件即得．

解答： 解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（-2）=f（2），
∵對(duì)任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+2f（2），
令x=-2，則f（2）=f（-2）+2f（2），
∴f（2）=0，
∴f（x+4）=f（x），
即函數(shù)f（x）是最小正周期為4的函數(shù)，
∴f（2013）=f（4×503+1）=f（1），
∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（-1）=f（1），
又f（-1）=2，
∴f（2013）=2，
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的周期性及應(yīng)用，函數(shù)的奇偶性的定義和運(yùn)用，考查解決抽象函數(shù)常用的方法：賦值法，正確賦值是解題的關(guān)鍵．