Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y=x²-2x-3與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上．
（1）求圓C的方程；
（2）若直線x+y+a=0與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且AB=2，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）求出曲線y=x²-2x-3與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出圓的一般方程，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的一般方程列方程組求解系數(shù)，則答案可求；
（2）由點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線x+y+a=0的距離，利用弦心距、弦長(zhǎng)與圓的半徑之間的關(guān)系列式求解a的值．

解答： 解：（1）取x=0，得y=-3，曲線與y軸的交點(diǎn)是（0，-3）．
令y=0，得x²-2x-3=0，解得x=-1或x=3，
即曲線與x軸的交點(diǎn)是（-1，0），（3，0）．                   
設(shè)所求圓C的方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則

9-3E+F=0 1-D+F=0 9+3D+F=0

，解得：D=-2，E=2，F(xiàn)=-3．
∴圓C的方程是x²+y²-2x+2y-3=0；                  
（2）圓C的方程可化為（x-1）²+（y+1）²=（

5

）²，
∴圓心C（1，-1），半徑r=

5

．                      
圓心C到直線x+y+a=0的距離d=

|1+(-1)+a|

2

=

|a|

2

．
由于d²+（

1

2

AB）²=r²，
∴（

|a|

2

）²+1²=（

5

）²，解得a=±2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的方程的求法，直線與圓的方程關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了點(diǎn)到直線的距離公式，是中檔題．