Question

（本題滿分14分）已知函數(shù)，函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)．

（1）求函數(shù)的解析式，并寫出定義域；

（2）設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖像是不間斷的光滑曲線，求證：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有唯一的零點(diǎn)（假設(shè)為），且．

Answer 1

（1）； （2）證明祥見解析．

【解析】

試題分析：（1）先且部分分式法結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域求函數(shù)的值域，即為其反函數(shù)的定義域D；再令解出x然后交換x,y的位置即得函數(shù)的解析式；

（2）先由（1）的結(jié)論可求得的解析式和定義域，從而可判斷函數(shù)為奇函數(shù)，那么要證函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有唯一的零點(diǎn)（假設(shè)為），且；就只需證明函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，且即可．

試題解析： （1） ，

.又，.

.

由，可解得.

，.

證明 （2）由（1）可知，.

可求得函數(shù)的定義域為.

對任意，有，

所以，函數(shù)是奇函數(shù).

當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，

于是，在上單調(diào)遞減.

因此，函數(shù)在上單調(diào)遞減.

依據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，可知，

函數(shù)在上單調(diào)遞減，且在上的圖像也是不間斷的光滑曲線.

又,

所以，函數(shù)在區(qū)間上有且僅有唯一零點(diǎn)，且.

考點(diǎn)：1.反函數(shù)；2．函數(shù)的零點(diǎn)．