【題目】已知函數(shù).

（1）證明函數(shù)在上是減函數(shù)，上是增函數(shù)；

（2）若方程有且只有一個實數(shù)根，判斷函數(shù)的奇偶性；

（3）在（2）的條件下探求方程的根的個數(shù).

【答案】（1）證明詳見解析；（2）為偶函數(shù)；（3）時只有一解，時有兩解.

【解析】

試題分析：（1）函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性定義進行證明，設(shè)的上任意兩個不等的實數(shù)，且，則，

，由于，所以，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，同理可證在區(qū)間單調(diào)遞增；（2）方程等價于方程有且只有一個實數(shù)根，則，因為，所以，則此時函數(shù)，，易證明函數(shù)為奇函數(shù)；（3）在（2）的條件下，即，根據(jù)第（2）證明所得的單調(diào)性可知，當 即時只有一解 ，當 即時有兩解.

試題解析：（1）由題意： 任取且使

則

在上是減函數(shù)

同理可證 在 上是增函數(shù)

（2）由題意知方程有且只有一個實數(shù)根

又

此時，

又的定義域為關(guān)于原點對稱，

且，

是奇函數(shù)

（3）由（2）知可化為

又由（1）（2）知：

當 即時只有一解

當 即時有兩解

綜上，當時只有一解；

當時有兩解；

練習冊系列答案
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【題目】已知橢圓的一個焦點為,且該橢圓過定點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設(shè)點,過點作直線與橢圓交于兩點,且,以為鄰邊作平行四邊形,求對角線長度的最小值.

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【題目】某單位共有10名員工，他們某年的收入如下表：

員工編號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

年薪（萬元）

3

3.5

4

5

5.5

6.5

7

7.5

8

50

（1）從該單位中任取2人，此2人中年薪收入高于5萬的人數(shù)記為，求的分布列和期望；

（2）已知員工年薪收入與工作所限成正相關(guān)關(guān)系，某員工工作第一年至第四年的年薪如下表：

工作年限

1

2

3

4

年薪（萬元）

3.0

4.2

5.6

7.2

預(yù)測該員工第五年的年薪為多少？

附：線性回歸方程中系數(shù)計算公式和參考數(shù)據(jù)分別為：

，，其中為樣本均值，，，（）

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（ⅰ）求證：的零點在上；

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