【題目】設(shè)常數(shù)a≥0,函數(shù)f(x)=x﹣ln2x+2alnx﹣1
(1)令g(x)=xf'(x)(x>0),求g(x)的最小值,并比較g(x)的最小值與0的大;
(2)求證:f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù);
(3)求證:當(dāng)x>1時(shí),恒有x>ln2x﹣2alnx+1.

【答案】
(1)解:∵f(x)=x﹣(lnx)(lnx)+2alnx﹣1,x∈(0,+∞)

,=

∴g(x)=xf'(x)=x﹣2lnx+2a,x∈(0,+∞)

,令g'(x)=0,得x=2,

列表如下:

∴g(x)在x=2處取得極小值g(2)=2﹣2ln2+2a,

即g(x)的最小值為g(2)=2﹣2ln2+2a.(6分)g(2)=2(1﹣ln2)+2a,

∵ln2<1,∴1﹣ln2>0,又a≥0,

∴g(2)>0


(2)證明:由(Ⅰ)知,g(x)的最小值是正數(shù),

∴對一切x∈(0,+∞),恒有g(shù)(x)=xf'(x)>0

從而當(dāng)x>0時(shí),恒有f'(x)>0

故f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)


(3)證明:由(Ⅱ)知:f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),

∴當(dāng)x>1時(shí),f(x)>f(1)

又f(1)=1﹣ln21+2aln1﹣1=0

∴f(x)>0,即x﹣1﹣ln2x+2alnx>0

∴x>ln2x﹣2alnx+1

故當(dāng)x>1時(shí),恒有x>ln2x﹣2alnx+1


【解析】(1)依題意求出g(x)的表示式,用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性求出其最小值再與0比較;(2)利用(1)的結(jié)論進(jìn)行證明,判斷時(shí)要求注意研究的區(qū)間是(0,+∞)這一特征;(3)由(2)的結(jié)論知只須證明f(1)非負(fù)即可.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法(復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x),y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān),其規(guī)律:“同增異減”),還要掌握函數(shù)的最值及其幾何意義(利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(。┲;利用圖象求函數(shù)的最大(。┲担焕煤瘮(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(。┲)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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A.(2ln3﹣4,+∞)
B.(﹣∞,2ln3﹣4)
C.(﹣4,+∞)
D.(﹣∞,﹣4)

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分組

[70,80)

[80,90)

[90,100)

[100,110)

頻數(shù)

2

5

9

10

分組

[110,120)

[120,130)

[130,140)

[140,150]

頻數(shù)

14

10

6

4

乙校:

分組

[70,80)

[80,90)

[90,100)

[100,110)

頻數(shù)

2

4

8

16

分組

[110,120)

[120,130)

[130,140)

[140,150]

頻數(shù)

15

6

6

3

以抽樣所得樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體
(1)比較甲、乙兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績的高低;
(2)若規(guī)定數(shù)學(xué)成績不低于120分為優(yōu)秀,從甲、乙兩校全體高三學(xué)生中各隨機(jī)抽取2人,其中數(shù)學(xué)成績?yōu)閮?yōu)秀的共X人,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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③“全等三角形的面積相等”的否命題;

④“若,則”的否命題.

其中真命題的個(gè)數(shù)是( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

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