Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AD=1，點M是SD的中點，AN⊥SC，交SC于點N．
（1）求證：平面SAC⊥平面AMN；
（2）求三棱錐S-ACM的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用面面垂直的判定定理證明平面SAC⊥平面AMN．
（2）利用V_S-ACM=V_D-ACM=V_M-DAC，即可求三棱錐S-ACM的體積．

解答： （1）證明：∵SA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，
∴DC⊥SA，DC⊥DA，
∴DC⊥平面SAD，
∴DC⊥AM，
又∵SA=AD，M是SD的中點，
∴AM⊥SD，
∴AM⊥平面SDC
∴SC⊥AM．
由已知AN⊥SC，
∴SC⊥平面AMN．
又SC?平面SAC，
∴平面SAC⊥平面AMN．…（6分）
（2）解：∵M是SD的中點，∴V_S-ACM=V_D-ACM=V_M-DAC…（9分）
∴VS-ACM=

1

3

S△ACD•

1

2

SA=

1

3

•

1

2

•

1

2

=

1

12

…（12分）

點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、三棱錐S-ACM的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．