Question

△ABC中，若2sinAsinC=sinAsinB+sinBsinC，求角B的最大值．

Answer 1

考點：余弦定理的應(yīng)用,正弦定理,余弦定理,解三角形

專題：轉(zhuǎn)化思想,解三角形

分析：利用正弦定理轉(zhuǎn)化已知條件為邊的關(guān)系，通過余弦定理轉(zhuǎn)化為B的關(guān)系，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性求出B的最大值．

解答： 解：2sinAsinC=sinAsinB+sinBsinC，由正弦定理可知，2ac=bc+ac，
即

2

b

=

1

a

+

1

c

，∴

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差數(shù)列，令公差為d≥0，不妨設(shè)

1

a

=

1

b

+d，

1

c

=

1

b

-d，
∴a=

b

1+bd

，c=

b

1-bd

，
由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，可得b²=(

b

1+bd

)2+(

b

1-bd

)2-2(

b

1+bd

)(

b

1-bd

)cosB，
化簡整理得

2

1-b2d2

cosB=

2+2b2d2

1-b4d4

-1，
可得cosB=

1+b2d2

2

，
∵d≥0，∴b²d²≥0，
∴cosB=

1+b2d2

2

≤

1

2

．
∴0＜B≤

π

3

．
B的最大值為

π

3

．

點評：本題考查余弦定理的應(yīng)用，正弦定理以及等差數(shù)列的應(yīng)用，巧妙利用換元法以及余弦函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，難度比較大．