Question

若函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，則：
①y=|f（x）|的圖象關(guān)于y軸對稱；
②若函數(shù)f（x）對任意x∈R滿足f（x+2）=

1-f(x)

1+f(x)

，則4是函數(shù)f（x）的一個周期；
③若log_m3＜log_n3＜0，則0＜m＜n＜1；
④若f（x）=e^|x-a|在[1，+∞）上是增函數(shù)，則a≤1．
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①結(jié)合函數(shù)y=|f（x）|為偶函數(shù)，從而得到該函數(shù)的圖象特征；
②直接利用周期函數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可；
③利用對數(shù)的運算性質(zhì)進(jìn)行判斷；
④利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法進(jìn)行求解即可．

解答： 解：①設(shè)函數(shù)g（x0=|f（x）|，
則g（-x）=|f（-x）|=|-f（x）|=|f（x）|=g（x），
∴函數(shù)g（x0=|f（x）|為偶函數(shù)，
∴函數(shù)g（x0=|f（x）|的圖象關(guān)于y軸對稱，
故①正確；
②∵函數(shù)f（x）對任意x∈R滿足f（x+2）=

1-f(x)

1+f(x)

，
∴f（x+4）=f[（x+2）+2]
=

1-f(x+2)

1+f(x+2)

=

1- 1-f(x) 1+f(x)

1+ 1-f(x) 1+f(x)

=f(x)，
∴f（x+4）=f（x），
∴4是函數(shù)f（x）的一個周期，
故②正確；
③∵log_m3＜log_n3＜0，則

lg3

lgm

＜

lg3

lgn

＜0，
∴l(xiāng)gn＜lgm＜0，
∴0＜n＜m＜1，
故③錯誤；
④∵f（x）=e^|x-a|在[1，+∞）上是增函數(shù)，
則函數(shù)y=|x-a|，在在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴a≤1，
故④正確；
故答案為：①②④．

點評：本題重點考查函數(shù)的基本性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性及其靈活運用，注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的處理思路和方法，遵循“同增異減”的原則進(jìn)行判斷．