Question

在任何兩邊都不相等的銳角三角形ABC中，已知角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且2sin²A-cos2A
=2
（Ⅰ）求角B的取值范圍；
（Ⅱ）求函數(shù)y=2sin2B+sin(2B+

π

6

)的值域；
（Ⅲ）求證：b+c＜2a．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),余弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）由2sin²A-cos2A=2結(jié)合二倍角的余弦公式可得sinA的方程，解方程可得A值，由題意可得B、C的不等式組，可得B的范圍；（Ⅱ）由三角函數(shù)公式化簡可得原式=sin(2B-

π

6

)+1，由B的范圍可得函數(shù)的值域；（Ⅲ）由余弦定理可得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，變形配方可得配方可得（b+c）²-3bc=a²，由基本不等式可得bc＜(

b+c

2

)2，代入可得b+c的不等式，解之可得．

解答： 解：（Ⅰ）∵2sin²A-cos2A=2，
∴2sin²A-（1-2sin²A）=2，
即sin²A=

3

4

．
解得sinA=±

3

2

，
又∵0＜A＜

π

2

，
∴A=

π

3

由題意可得

0＜B＜ π 2 0＜C＜ π 2 B≠C B+C= 2π 3

解不等式組可得

π

6

＜B＜

π

3

，或

π

3

＜B＜

π

2

；
（Ⅱ）∵y=2sin2B+sin(2B+

π

6

)
=1-cos2B+

3

2

sin2B+

1

2

cos2B
=

3

2

sin2B-

1

2

cos2B+1
=sin(2B-

B

6

)+1，
由（Ⅰ）得

π 6 ＜2B- π 6 ＜ 5π 6 2B- π 6 ≠ π 2

∴

3

2

＜y＜2，
∴函數(shù)y=2sin2B+sin(2B+

π

6

)的值域為（

3

2

，2）
（Ⅲ）由余弦定理可得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
∴b²+c²-a²=bc，配方可得（b+c）²-3bc=a²，
∵b≠c，
∴由基本不等式可得bc＜(

b+c

2

)2，
∴(b+c)2-

3

4

(b+c)2 ＜a2
∴（b+c）²＜4a²，開方可得b+c＜2a．

點評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及三角形的余弦定理，屬中檔題．