Question

9．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）上存在一點 P滿足$∠{A}{P}F=\frac{π}{2}$，F(xiàn)為橢圓的左焦點，A為橢圓的右頂點，則橢圓的離心率的范圍是（　　）

• A． $（{0，\frac{1}{2}}）$
• B． $（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$
• C． $（{\frac{1}{2}，1}）$
• D． $（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1}）$

Answer 1

分析 由題意求出以FA為直徑的圓的方程，聯(lián)立圓與橢圓方程，求出點P的坐標，由P得橫坐標滿足-c＜x_P＜a求解．

解答 解：如圖，
A（a，0），F(xiàn)（-c，0），
以FA為直徑的圓的方程為$（x-\frac{a-c}{2}）^{2}+{y}^{2}=（\frac{a+c}{2}）^{2}$，
整理得：x²-（a-c）x+y²-ac=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\\{{x}^{2}-（a-c）x+{y}^{2}-ac=0}\end{array}\right.$，消去y得：c²x²-a²（a-c）x+a²（b²-ac）=0．
由題意可得：a，x_P為方程c²x²-a²（a-c）x+a²（b²-ac）=0的兩根．
由根與系數(shù)的關系可得：${x}_{P}+a=\frac{{a}^{2}（a-c）}{{c}^{2}}$，
∴${x}_{P}=\frac{{a}^{2}（a-c）}{{c}^{2}}-a=\frac{{a}^{3}-{a}^{2}c-a{c}^{2}}{{c}^{2}}$．
由圖可知：-c＜x_P＜a．
即$-c＜\frac{{a}^{3}-{a}^{2}c-a{c}^{2}}{{c}^{2}}＜a$，
化簡左邊可得（a-c）²＞0恒成立；
化簡右邊可得2e²+e-1＞0，解得e＜-1或e$＞\frac{1}{2}$．
又0＜e＜1，∴$\frac{1}{2}＜e＜1$．
故選：C．

點評 本題考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質(zhì)，圓與圓錐曲線位置關系的應用問題，解題的關鍵是得到關于a，c的等式，體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，屬中檔題．