Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-mx-x+

1

3

m．（m∈R）．
（Ⅰ）若m=1，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若對(duì)任意x₁，x₂∈[-1，1]時(shí)，恒有|f′（x₁）-f′（x₂）|≤4，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的切線斜率的關(guān)系即可求得切線方程；
（Ⅱ）轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題解決即可得出結(jié)論．

解答： 解：（I）m=1，f'（1）=x²-2x-1|_x=1=-2，f(1)=-

4

3

----------------（3分）
∴曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y+

4

3

=-2(x-1)，
即6x+3y-2=0-----------------------（6分）
（II）對(duì)任意x₁，x₂∈[-1，1]時(shí)，恒有|f'（x₁）-f'（x₂）|≤4-----------------------------（8分）
由g（x）=f'（x）=x²-2mx-1，
則（1）當(dāng)m＜-1時(shí)，|g（x₁）-g（x₂）|≤|g（1）-g（-1）|=4|m|≤4，解得|m|≤1（舍去）；----------------（12分）
（2）當(dāng)-1≤m≤0時(shí)，|g(x1)-g(x2)|≤|g(1)-g(m)|=(m-1)2≤4，解得-1≤m≤0；          
（3）當(dāng)0＜m≤1時(shí)，|g(x1)-g(x2)|≤|g(-1)-g(m)|=(m+1)2≤4解得0＜m≤1-------------（13分）
（4）當(dāng)m＞1時(shí)，|g（x₁）-g（x₂）|≤|g（1）-g（-1）|=4|m|≤4解得|m|≤1（舍去）-------------（14分）
綜上所述，m的取值范圍為[-1，1]．--------------------（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程及函數(shù)的最值問題等知識(shí)，考查學(xué)生的劃歸轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想的運(yùn)用能力、計(jì)算能力，屬難題．