Question

已知橢圓Γ：

x2

2

+y²=1點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-1），過點(diǎn)B的直線交橢圓Γ于另一點(diǎn)A，且AB中點(diǎn)E在直線y=x上，點(diǎn)P為橢圓Γ上異于A，B的任意一點(diǎn)．
（1）求直線AB的方程，；
（2）設(shè)A不為橢圓頂點(diǎn)，又直線AP，BP分別交直線y=x于M，N兩點(diǎn)，證明：

OM

•

ON

為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）若直線AB無斜率，直線方程x=0，A（0，1）滿足要求．若直線AB有斜率，設(shè)直線方程y=kx-1，聯(lián)立方程組

x2 2 +y2=1 y=kx-1

，得

x2

2

+k2x2-2kx=0，由此利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式能求出直線AB的方程．
（2）解方程組

x2 2 +y2=1 y=- 1 2 x-1

，得A(-

4

3

，-

1

3

)，B（0，-1），設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀）為曲線上任一點(diǎn)，得到直線AP的方程是 y+

1

3

=

y 0+ 1 3

x0+ 4 3

(x+

4

3

)，直線BP的方程是 y+1=

y 0+1

x0

x，由此能證明

OM

•

ON

為定值

4

3

．

解答： （1）解：若直線AB無斜率，直線方程x=0，A（0，1）滿足要求．
若直線AB有斜率，設(shè)直線方程y=kx-1，
聯(lián)立方程組

x2 2 +y2=1 y=kx-1

，得

x2

2

+k2x2-2kx=0，
∴xA=

4k

1+2k2

，yA=

4k2

1+2k2

-1=

2k2-1

1+2k2

，
中點(diǎn)坐標(biāo)為(

2k

1+2k2

，

-1

1+2k2

)，∴k=-

1

2

，
∴直線AB的方程為：y=-

1

2

x-1．
（2）證明：解方程組

x2 2 +y2=1 y=- 1 2 x-1

，得

x=0 y=-1

或

x=- 4 3 y=- 1 3

，
∵A不為橢圓頂點(diǎn)，∴A(-

4

3

，-

1

3

)，B（0，-1），
設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀）為曲線上任一點(diǎn)，
則直線AP的方程是 y+

1

3

=

y 0+ 1 3

x0+ 4 3

(x+

4

3

)，
與直線y=x聯(lián)立得xM =

4y0-x0

3(x0-y0+1)

，
同理得：直線BP的方程是 y+1=

y 0+1

x0

x，
與直線y=x聯(lián)立得xN=

x0

-x0+y0+1

，
∴

OM

•

ON

=x_Mx_N+y_My_N=2×

4y0-x0

3(x0-y0+1)

×

x0

-x0+y0+1

=

4

3

．
∴

OM

•

ON

為定值

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程的求法，考查向量的數(shù)量積為定值的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意中點(diǎn)坐標(biāo)公式的合理運(yùn)用．