Question

有下列命題：
①存在α∈（0，

π

2

），使sinα+cosα=

1

3

；
②存在區(qū)間（a，b），使y=cosx為減函數(shù)而sinx＜0；
③y=tanx在其定義域內(nèi)為增函數(shù)；
④若|

a

+

b

|=|

a

|-|

b

|，則

a

⊥

b

；
⑤已知P為△ABC的外心，若

PA

+

PB

+

PC

=

0

，則△ABC為正三角形；
⑥

a

，

b

，

c

互不共線，則（

a

•

b

）•

c

-（

c

•

a

）•

b

=0．
以上命題錯誤的為

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題

分析：①由單位圓中三角函數(shù)線知為錯誤命題；
②由函數(shù)y=cosx減區(qū)間為[2kπ，2kπ+π]，而此時sinx≥0；
③取x₁=0，x₂=π，x₁＜x₂，但y₁=y₂，不符合增函數(shù)的定義；
④將|

a

+

b

|=|

a

|-|

b

|兩邊平方并整理可得2

a

•

b

=-2|

a

||

b

|，cosθ=-1，θ=π，

a

，

b

為反向向量，
⑤若

PA

+

PB

+

PC

=

0

，P為△ABC的重心，結(jié)合P為△ABC的外心，得出三角形邊上的中線與垂直平分線都重合，△ABC為正三角形；
⑥向量數(shù)量積的運(yùn)算不符合結(jié)合律．

解答： 解：①當(dāng)α∈（0，

π

2

）時，由單位圓中三角函數(shù)線知sinα+cosα＞1，
所以不存在α∈（0，

π

2

），使sinα+cosα=

1

3

；①錯誤
②由函數(shù)y=cosx減區(qū)間為[2kπ，2kπ+π]，而此時sinx≥0，
所以不存在區(qū)間（a，b），使y=cosx為減函數(shù)而sinx＜0；②錯誤
③取x₁=0，x₂=π，x₁＜x₂，但y₁=y₂，不符合增函數(shù)的定義；③錯誤
④由已知，|

a

|≥|

b

|，將|

a

+

b

|=|

a

|-|

b

|兩邊平方，

a

²+

b

²+2

a

•

b

=|

a

|²+|

b

|²-2|

a

||

b

|，
2

a

•

b

=-2|

a

||

b

|，cosθ=-1，θ=π，

a

，

b

為反向向量，④錯誤
⑤若

PA

+

PB

+

PC

=

0

，則P為△ABC的重心，又P為△ABC的外心，所以三角形邊上的中線與垂直平分線都重合，△ABC三邊兩兩相等，所以△ABC為正三角形；⑤正確
⑥向量數(shù)量積的運(yùn)算不符合結(jié)合律，（

a

•

b

）•

c

≠（

c

•

a

）•

b

=0．⑥錯誤
綜上所述以上命題錯誤的為：①②③④⑥
故答案為：①②③④⑥

點評：本題考查命題真假的判斷，考查了函數(shù)的單調(diào)性，向量運(yùn)算及幾何意義等．