Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若不等式對任意的正實數(shù)都成立，求實數(shù)的最大整數(shù)值.

（3）當時，若存在實數(shù)且，使得，求證.

Answer 1

【答案】（1）增區(qū)間，減區(qū)間；（2）2；（3）見解析

【解析】

（1）由，得，再求出函數(shù)的導函數(shù)，得到單調(diào)遞減區(qū)間，得到單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）依題意得，所以，令，利用導數(shù)說明其單調(diào)性，由，，即存在使，且，所以，從而得到的取值范圍；

（3）令，解得，由題意知，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到，同理，從而得解；

解：（1）當時，，，令得，

當時，，單調(diào)遞減，即的單調(diào)遞減區(qū)間為；

當時，，單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）依題意得，

所以，

令，顯然在上單調(diào)遞增，

且，，∴存在使，

且當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.

∴而，

∴，

∴，

∴，∴的最大整數(shù)值為2.

（3）令，解得，由題意知，

當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，

∵在上單減，在上單增，且，

∴當時，，由，，可得，

∴，∴，同理，

則，解得.