Question

f（x）=

x+3

x

 
（1）寫出此函數(shù)的定義域和值域
（2）證明函數(shù)在（0，+∞）為單調(diào)遞減函數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求定義域就是使函數(shù)有意義，所以定義域很容易求出，原函數(shù)變成f（x）=1+

1

x

，

1

x

≠0，所以f（x）≠1，所以值域也能求出．
（2）可以利用導數(shù)證明原函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性．

解答： 解：（1）要使函數(shù)f（x）=

x+3

x

=1+

3

x

有意義，則x≠0，∵

3

x

≠0，∴f（x）≠1；
∴函數(shù)f（x）的定義域是：{x|x≠0}，值域是：（-∞，1）∪（1，+∞）．
（2）f′（x）=-

3

x2

＜0，∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．

點評：本題考查定義域、值域的概念，以及函數(shù)導數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系．利用導數(shù)證明或判斷函數(shù)單調(diào)性時，需正確求出導數(shù)．