Question

設(shè)x₁＜x₂，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲線f（x）=mlnx+ax²+bx+c（ma＜0）上兩點(diǎn)，直線AB的斜率為k．
（Ⅰ）試比較k與f′（

x1+x2

2

）的大�。�
（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)x₀∈（x₁，x₂），使得k=f′（x₀），求證：x₀＜

x1+x2

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知得f′（x）=mx^-1+2ax+b，k-f′（

x1+x2

2

）=

m

x2-x1

[ln

x2

x1

-

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

]，設(shè)g（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，t＞1，則g′(t)=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，由此能比較k與f′（

x1+x2

2

）的大小．
（Ⅱ）設(shè)h（x）=f′（x）=mx^-1+2ax+b，則h′（x）=-mx^-2+2a，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明x₀＜

x1+x2

2

．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=mlnx+ax²+bx+c，（ma＜0），x₁＜x₂，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的斜率為k．
∴f′（x）=mx^-1+2ax+b，
k-f′（

x1+x2

2

）=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

-f′(

x1+x2

2

)
=m（

lnx2 -lnx1

x2-x1

-

2

x1+x2

）
=

m

x2-x1

[ln

x2

x1

-

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

]，
設(shè)g（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，t＞1，
則g′(t)=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，g（t）在（1，+∞）上單調(diào)增加，
g（t）＞g（1）=0，∴

1

x2-x1

[ln

x2

x1

-

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

]＞0，
故當(dāng)m＞0時(shí)，k＞f′(

x1+x2

2

)，
當(dāng)m＜0時(shí)，k＜f′(

x1+x2

2

)．
（Ⅱ）證明：設(shè)h（x）=f′（x）=mx^-1+2ax+b，則h′（x）=-mx^-2+2a，
當(dāng)m＞0，a＜0時(shí)，h′（x）＜0，h（x）=f′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
k=f′(x0)＞f′(

x1+x2

2

)，得x0＜

x1+x2

2

．
當(dāng)m＜0，a＞0時(shí)，h′（x）＞0，h（x）=f′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
k=f′(x0)＜f′(

x1+x2

2

)，∴x₀＜

x1+x2

2

．
綜上所述，x₀＜

x1+x2

2

．

點(diǎn)評：本題考查兩數(shù)大小的比較，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．