Question

4．在正方體中ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直線AD₁與平面B₁CD₁所成的角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)正方體中ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線AD₁與平面B₁CD₁所成的角的正弦值．

解答 解：設(shè)正方體中ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，
以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（1，0，0），D₁（0，0，1），B₁（1，1，1），C（0，1，0），
$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（1，0，1），$\overrightarrow{C{D}_{1}}$=（0，-1，1），
設(shè)平面B₁CD₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{D}_{1}}=-y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
設(shè)直線AD₁與平面B₁CD₁所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{A{D}_{1}}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{A{D}_{1}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{A{D}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-2}{\sqrt{2}×\sqrt{3}}$|=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴線AD₁與平面B₁CD₁所成的角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．