Question

14．求滿足下列條件的圓的方程：
（1）圓心在直線l：x-y+10=0上，過點（-5，0），半徑r=5；
（2）過點P（4，2），Q（-1，3），且圓在兩坐標軸上的四個截距之和等于-10．

Answer 1

分析 （1）設圓心（a，b），由圓心在直線l：x-y+10=0上和兩點間距離公式列出方程組，求出圓心坐標，由此能求出圓的方程．
（2）設圓心的坐標為（a，b），圓半徑為r．由已知圓心必在PQ的中垂線上，圓的方程為 （x-a）²+（y-b）²=r²四個截距是 2（a+b），由此能求出圓的方程．

解答 解：（1）設圓心（a，b），
∵圓心在直線l：x-y+10=0上，過點（-5，0），半徑r=5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{（a+5）^{2}+^{2}}=5}\\{a-b+10=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-10}\\{b=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-5}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴圓的方程為（x+10）²+y²=25或（x+5）²+（y-5）²=25．
（2）設圓心的坐標為（a，b），圓半徑為r．
∵圓心必在PQ的中垂線上，P（4，2），Q（-1，3），
∴${k}_{PQ}=\frac{3-2}{-1-4}$=--$\frac{1}{5}$，PQ中垂線的斜率k=5，
∵PQ的中點坐標為（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），
∴PQ的中垂線的方程為 y-$\frac{5}{2}$=5（x-$\frac{3}{2}$），
∴b-$\frac{5}{2}$=5（a-$\frac{3}{2}$），整理，得：b=5a-5，①
且 r²=（a-4）²+（b-2）²=13（2a²-6a+5），
圓的方程為 （x-a）²+（y-b）²=r²四個截距為 x=a±$\sqrt{{r}^{2}-^{2}}$，y=b±$\sqrt{{r}^{2}-{a}^{2}}$，
和是 2a+2b=2（a+b），
∵圓在兩坐標軸上的四個截距之和等于-10，
∴2（a+b）=-10，②
由①②，得a=0，b=-5．
r=$\sqrt{13×5}$=$\sqrt{65}$，
∴圓的方程為x²+（y-5）²=65．

點評 本題考查圓的方程的求法，是中檔題，解題時要注意兩點間距離公式和圓的性質的合理運用．