Question

已知點(diǎn)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））是函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）(ω＞0，-

π

2

＜φ＜0)圖象上的任意兩點(diǎn)，且角φ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，-

3

)，若|f（x₁）-f（x₂）|=4時(shí)，|x₁-x₂|的最小值為

π

3

．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）當(dāng)x∈[0，

π

6

]時(shí)，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用三角函數(shù)的定義求出φ的值，由|f（x₁）-f（x₂）|=4時(shí)，|x₁-x₂|的最小值為

π

3

，可得函數(shù)的周期，從而可求ω，進(jìn)而可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，可求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）當(dāng)x∈[0，

π

6

]時(shí)，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，等價(jià)于m≥

f(x)

2+f(x)

=1-

2

2+f(x)

，由此可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）角φ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，-

3

)，
∴tanφ=-

3

，…（2分）
∵-

π

2

＜φ＜0，∴φ=-

π

3

．…（3分）
由|f（x₁）-f（x₂）|=4時(shí)，|x₁-x₂|的最小值為

π

3

，得T=

2π

3

，
即

2π

ω

=

2π

3

，∴ω=3…..（5分）
∴f(x)=2sin(3x-

π

3

)…（6分）
（2）由-

π

2

+2kπ≤3x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，
可得-

π

18

+

2kπ

3

≤x≤

5π

18

+

2kπ

3

，…（8分）
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

π

18

+

2kπ

3

，k∈z…（9分）
（3 ） 當(dāng)x∈[0，

π

6

]時(shí)，-

3

≤f(x)≤1，…（11分）
于是，2+f（x）＞0，
∴mf（x）+2m≥f（x）等價(jià)于m≥

f(x)

2+f(x)

=1-

2

2+f(x)

…（12分）
由-

3

≤f(x)≤1，得

f(x)

2+f(x)

的最大值為

1

3

…（13分）
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥

1

3

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的確定，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查分離參數(shù)法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．