Question

8．已知向量$\overrightarrow m=（{sinA，cosA}），\overrightarrow n=（{\sqrt{3}，-1}）$，$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$，且A為鈍角．
（1）求角A的大小；
（2）求函數(shù)f（x）=cos2x+4cosAsinx（x∈R）取最大值時x的集合．

Answer 1

分析 （1）由條件利用兩個向量平行的性質，求得tanA=-$\sqrt{3}$，從而求得A的值．
（2）化簡函數(shù)的解析式為 f（x）=-2${（sinx+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{2}$，再利用正弦函數(shù)的值域，二次函數(shù)的性質，求得它的最大值，以及此時x的集合．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow m=（{sinA，cosA}），\overrightarrow n=（{\sqrt{3}，-1}）$，$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$，∴-sinA-$\sqrt{3}$cosA=0，tanA=-$\sqrt{3}$，
再根據(jù)A為鈍角，可得A+$\frac{π}{3}$=π，A=$\frac{2π}{3}$．
（2）函數(shù)f（x）=cos2x+4cosAsinx=cos2x-2sinx=1-2sin²x-2sinx=-2${（sinx+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{2}$，
故當sinx=-$\frac{1}{2}$時，f（x）取得最大值為$\frac{3}{2}$，此時，x的值的集合為{x|x=2kπ+$\frac{7π}{6}$，或 x=2kπ+$\frac{11π}{6}$，k∈Z}．

點評 本題主要考查兩個向量平行的性質，三角恒等變換，正弦函數(shù)的值域，二次函數(shù)的性質，屬于中檔題．