Question

已知函數(shù)f_n（x）=x+

n

x

，（x＞0，n≥1，n∈Z），以點（n，f_n（n））為切點作函數(shù)y=f_n（x）圖象的切線l_n，記函數(shù)y=f_n（x）圖象與三條直線x=n，x=n+1，l_n所圍成的區(qū)域面積為a_n．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）求證：a_n＜

1

3n2

；
（Ⅲ）設S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，求證：S_n＜

5

9

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,定積分

專題：綜合題,壓軸題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導函數(shù)，求出切點坐標，由直線方程的點斜式求得切線方程，由定積分求得函數(shù)y=f_n（x）圖象與三條直線x=n，x=n+1，l_n所圍成的區(qū)域面積為a_n；
（Ⅱ）要證明a_n＜

1

3n2

，即證明nln(1+

1

n

)+

1

2n

-1＜

1

3n2

，可設想構造函數(shù)h（x）=ln（1+x）-x+

1

2

x2-

1

3

x3 （x≥0），由其導函數(shù)確定原函數(shù)的單調性，進一步得到ln（1+x）＜x-

1

2

x2+

1

3

x3成立，取x=

1

n

，然后不等式兩邊同時乘以n，則可證得a_n＜

1

3n2

；
（Ⅲ）法一、由（Ⅱ）中不等式進一步放縮得到a_n＜

1

3n2

＜

1

3

•

1

n2- 1 4

=

2

3

•(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，把數(shù)列
{a_n}求和后正負項相消可證明不等式；
法二、把數(shù)列{a_n}的前n項和的前兩項作和，然后由

1

n2

＜

1

n2-1

=

1

(n-1)(n+1)

=

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)放大n≥3的項，可證明n≥3時S_n＜

5

9

，單獨驗證S₁，S₂后可得答案．

解答： （Ⅰ）解：由f_n（x）=x+

n

x

，得fn′(x)=1-

n

x2

，
切點為（n，n+1），則切線l_n方程為y-(n+1)=(1-

n

n2

)(x-n)，
即ln：y=(1-

1

n

)x+2，
∴an=

∫

n+1 n

[x+

n

x

-(1-

1

n

)x-2]dx=

∫

n+1 n

(

x

n

+

n

x

-2)dx=nln(1+

1

n

)+

1

2n

-1；
（Ⅱ）證明：構造函數(shù)h（x）=ln（1+x）-x+

1

2

x2-

1

3

x3 （x≥0），
則h′（x）=

1

1+x

-1+x-x2=

-x3

1+x

≤0
即函數(shù)h（x）=ln（1+x）-x+

1

2

x2-

1

3

x3 （x≥0）單調遞減，而h（0）=0，
∴h（x）≤0，等號在x=0時取得，
∴當x＞0時，ln（1+x）＜x-

1

2

x2+

1

3

x3成立，
∴知ln(1+

1

n

)＜

1

n

-

1

2

(

1

n

)2+

1

3

(

1

n

)3
∴a_n=nln(1+

1

n

)+

1

2n

-1＜

1

3n2

；
（Ⅲ）證明：
法一、
∵a_n＜

1

3n2

＜

1

3

•

1

n2- 1 4

=

2

3

•(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴當n=1時，S_n=a₁=

1

3

＜

5

9

；
當n≥2時，Sn=

n

k=1

ak=a1+

n

k=2

ak＜

1

3

+

2

3

(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

5

9

-

2

3

•

1

2n+1

＜

5

9

．
方法二、
由（Ⅱ）知a_n＜

1

3n2

，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n＜

1

3×12

+

1

3×22

+

1

3×32

+…+

1

3n2

=

1

3

(

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)=

1

3

(

5

4

+

1

32

+…+

1

n2

)，
∵

1

n2

＜

1

n2-1

=

1

(n-1)(n+1)

=

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)（n≥3，n∈N^*）
∴Sn＜

1

3

[

5

4

+

1

2

(

1

2

-

1

4

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+

1

2

(

1

4

-

1

6

)+…+

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)]
=

1

3

[

5

4

+

1

2

(

1

2

+

1

3

-

1

n

-

1

n+1

)]=

5

9

-

1

6

(

1

n

+

1

n+1

)＜

5

9

又S1=a1=

1

3

＜

5

9

，S2=a1+a2≤

1

3

+

1

3×22

=

5

12

＜

5

9

，
∴綜上所述：對一切n∈N^*，都有S_n＜

5

9

．

點評：本題考查了數(shù)列與不等式的綜合，考查了定積分，訓練了裂項相消法求數(shù)列的和，考查了放縮法求證不等式，
對于（Ⅱ）的證明，構造函數(shù)h（x）=ln（1+x）-x+

1

2

x2-

1

3

x3 （x≥0）是難點，證明（Ⅲ）的關鍵是對每一項的放縮，是難度較大的題目．