Question

已知點(diǎn)A（2，

1

2

）為雙曲線y=

1

x

在第一象限分支上的一點(diǎn)，試判斷過點(diǎn)A的一條直線能否與雙曲線第三象限的分支相切．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：聯(lián)立

y= 1 x y- 1 2 =k(x-2)

，得2kx²-（4k+1）x-2=0，利用根的判別式判斷過點(diǎn)A的一條直線能否與雙曲線第三象限的分支相切．

解答： 解：設(shè)過點(diǎn)A（2，

1

2

）的直線方程為y-

1

2

=k（x-2），
聯(lián)立

y= 1 x y- 1 2 =k(x-2)

，得2kx²-（4k+1）x-2=0，
△=（4k+1）²+8k，
∴k＞0時(shí)，過點(diǎn)A的一條直線能與雙曲線第三象限的分支相切；
k＜0時(shí)，過點(diǎn)A的一條直線不能與雙曲線第三象限的分支相切．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與雙曲線能否相切的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式的靈活運(yùn)用，