已知點(diǎn)A(2,
1
2
)為雙曲線y=
1
x
在第一象限分支上的一點(diǎn),試判斷過點(diǎn)A的一條直線能否與雙曲線第三象限的分支相切.
考點(diǎn):雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專題:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:聯(lián)立
y=
1
x
y-
1
2
=k(x-2)
,得2kx2-(4k+1)x-2=0,利用根的判別式判斷過點(diǎn)A的一條直線能否與雙曲線第三象限的分支相切.
解答: 解:設(shè)過點(diǎn)A(2,
1
2
)的直線方程為y-
1
2
=k(x-2),
聯(lián)立
y=
1
x
y-
1
2
=k(x-2)
,得2kx2-(4k+1)x-2=0,
△=(4k+1)2+8k,
∴k>0時(shí),過點(diǎn)A的一條直線能與雙曲線第三象限的分支相切;
k<0時(shí),過點(diǎn)A的一條直線不能與雙曲線第三象限的分支相切.
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與雙曲線能否相切的判斷,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意根的判別式的靈活運(yùn)用,
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x
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