Question

已知函數(shù)f（x）=4sin²（x+

π

4

）-2

3

cos2x-1，且給定條件p：“-

π

4

≤x≤

π

2

”．
（1）求f（x）的最大值及最小值；
（2）若又給條件q：“|f（x）-m|＜5”，且p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),簡(jiǎn)易邏輯

分析：（1）將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出函數(shù)的最值．
（2）根據(jù)充分條件和必要條件的定義，建立條件即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）f（x）=4sin²（x+

π

4

）-2

3

cos2x-1=2[1-cos（

π

2

+2x）]-2

3

3cos2x-1=2+2sin2x-2

3

cos2x-1=1+4sin（2x-

π

3

），
∵-

π

4

≤x≤

π

2

，
-

5π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
∴-4≤4sin（2x-

π

3

）≤4
∴-3≤f（x）≤5，
即f（x）最大值為5，最小值為-3．
（2）∵|f（x）-m|＜5
∴m-5＜f（x）＜m+5，
由（1）得-3≤f（x）≤5
即p：-3≤f（x）≤5
q：m-5＜f（x）＜m+5，
∵p是q的充分條件
∴

m-5≤-3 m+5≥5

，
即

m≤2 m≥0

，
解得：0≤m≤2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及充分條件和必要條件的應(yīng)用，要求熟練掌握三角函數(shù)的化簡(jiǎn)公式．