Question

如圖，已知拋物線C的頂點在原點，開口向右，過焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦長為2，過C上一點A作兩條互相垂直的直線交拋物線于P，Q兩點．
（Ⅰ）若直線PQ過定點T（3，-

2

），求點A的坐標(biāo)；
（Ⅱ）對于第（Ⅰ）問的點A，三角形APQ能否為等腰直角三角形？若能，試確定三角形APD的個數(shù)；若不能，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件求出拋物線的方程為y²=2x．設(shè)直線PQ的方程為x=my+n，點P、Q的坐標(biāo)分別為P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．由

x=my+n y2=2x

，得y²-2my-2n=0．由△＞0，得m²+2n＞0，設(shè)A點坐標(biāo)為（

a2

2

，a），則有（x1-

a2

2

）（x2-

a2

2

）+（y₁-a）（y₂-a）=0，由此能求出A點坐標(biāo)．
（Ⅱ）假設(shè)存在以PQ為底邊的等腰直角三角形APQ，由（Ⅰ）知，將n用n=3+

2

m，代換得直線PQ的方程為x=my+

2

m

2

+3．設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由

x=my+ 2 m+3 y2=2x

，得y2-2my-2

2

m-6=0．由此推導(dǎo)出函數(shù)g（m）在R上有且只有一個零點，所以滿足條件的等腰直角三角形有且只有一個．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)拋物線的方程為y²=2px，p＞0，依題意，2p=2，
則所求拋物線的方程為y²=2x．…（2分）
設(shè)直線PQ的方程為x=my+n，點P、Q的坐標(biāo)分別為P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由

x=my+n y2=2x

，消x得y²-2my-2n=0．由△＞0，得m²+2n＞0，
y₁+y₂=2m，y₁y₂=-2n．∵AP⊥AQ，∴

AP

•

AQ

=0．
設(shè)A點坐標(biāo)為（

a2

2

，a），則有（x1-

a2

2

）（x2-

a2

2

）+（y₁-a）（y₂-a）=0，
∵x1=

y12

2

，x2=

y22

2

，∴（y₁-a）（y₂-a）[（y₁+a）（y₂+a）+4]=0，
∴（y₁-a）（y₂-a）=0或（y₁+a）（y₂+a）+4=0．
∴2n=a²-2ma或2n=a²+2ma+4，∵△＞0恒成立．∴2n=a²+2ma+4．
又直線PQ過定點T（3，-

2

），即n=3+

2

m，
代入上式得6+2

2

m=a²+2ma+4，a2-2+2m(a-

2

)=0，
注意到上式對任意m都成立，
故有a=

2

，從而A點坐標(biāo)為（1，

2

）．…（8分）
（Ⅱ）假設(shè)存在以PQ為底邊的等腰直角三角形APQ，
由第（Ⅰ）問可知，將n用n=3+

2

m，代換得直線PQ的方程為x=my+

2

m

2

+3．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由

x=my+ 2 m+3 y2=2x

，消x，
得y2-2my-2

2

m-6=0．
∴y₁+y₂=2m，y1•y 2=-2

2

m-6．
∵PQ的中點坐標(biāo)為（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），即（

y12+y22

4

，

y1+y2

2

），
∵

y12+y22

4

=

(y1+y2)2-2y1y2

4

=m2+

2

m+3，∴PQ的中點坐標(biāo)為（m²+

2

m+3，m）．
由已知得

m- 2

m2+ 2 m+2

=-m，即m3+

2

m2+3m-

2

=0．
設(shè)g（m）=m³+

2

m2+3m-

2

，則g′(m)=3m2+2

2

m+3＞0，
∴g（m）在R上是增函數(shù)．又g（0）=-

2

＜0，g（1）=4＞0，
∴g（m）在（0，1）內(nèi)有一個零點．函數(shù)g（m）在R上有且只有一個零點，
∴滿足條件的等腰直角三角形有且只有一個．…（12分）

點評：本題考查點的坐標(biāo)的求法，考查滿足條件的三角形是否存在的判斷與求法，解題時要認(rèn)真審題，注意中點坐標(biāo)公式的合理運(yùn)用．