Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=cos（2x-$\frac{π}{2}$）+2cos²x，x∈R；
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用誘導(dǎo)公式以及倍角公式，將三角函數(shù)進行化簡，然后即可求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象，求出g（x）的表達式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．

解答 解：（1）f（x）=cos（2x-$\frac{π}{2}$）+2cos²x=sin2x+cos2x+1=1+$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
則函數(shù)的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
得kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$，k∈Z，
即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$]，k∈Z；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象，
即g（x）=1+$\sqrt{2}$sin[2（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$）=1+$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴-$\frac{π}{4}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{4}$，
∴當(dāng)2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)取得最大值為1+$\sqrt{2}$，
當(dāng)2x-$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{4}$時，函數(shù)取得最小值為1+$\sqrt{2}$×$（-\frac{\sqrt{2}}{2}）$=1-2=-1，
即函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的值域為[-1，1+$\sqrt{2}$]．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和輔助角公式進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．