Question

給定正整數(shù)，若項數(shù)為的數(shù)列滿足：對任意的，均有（其中），則稱數(shù)列為“Γ數(shù)列”．
（1）判斷數(shù)列和是否是“Γ數(shù)列”，并說明理由；
（2）若為“Γ數(shù)列”，求證：對恒成立；
（3）設是公差為的無窮項等差數(shù)列，若對任意的正整數(shù)，
均構成“Γ數(shù)列”，求的公差．

Answer 1

（1）數(shù)列不是“數(shù)列”； 數(shù)列是“數(shù)列”；（2）詳見解析；（3）數(shù)列的公差．

試題分析：（1）判斷數(shù)列和是否是“Γ數(shù)列”，根據(jù)“Γ數(shù)列”的定義，對任意的，均有，只要每一項都滿足，就是“Γ數(shù)列”，有一項不滿足就不是“Γ數(shù)列”，對于數(shù)列，，觀察數(shù)列中的項，都大于，顧不符合定義，對于數(shù)列，，觀察數(shù)列中的每一項，都小于，符合定義，故是“Γ數(shù)列”；（2） 若為“Γ數(shù)列”，求證：對恒成立，本題直接證明似乎無從下手，因此可用反證法，即假設存在某項，把它作為條件，可得，設，得出，顯然這與“數(shù)列”定義矛盾，從而得證；（3）求的公差，由（2）可知，分，與，兩種情況討論，當易證符合，當時，顯然是遞增數(shù)列，由“數(shù)列”的定義可知，即，整理得，當時，不等式不成立，故不是“數(shù)列”，因此得公差.
（1）①因為，數(shù)列不是“數(shù)列”，       2分
②因為，又是數(shù)列中的最大項
所以數(shù)列是“數(shù)列”.                                                 4分
（2）反證法證明：
假設存在某項，則
.
設，則
，
所以，即，
這與“數(shù)列”定義矛盾，所以原結論正確.                                    8分
（3）由（2）問可知.   
①當時，，符合題設；                    9分
②當時， 
由“數(shù)列”的定義可知，即
整理得（*）
顯然當時，上述不等式（*）就不成立
所以時，對任意正整數(shù)，不可能都成立.
綜上討論可知的公差.                             13分