Question

平面上的兩個向量

OA

，

OB

滿足

|OA|

=a，

|OB|

=b，且

OA

⊥

OB

，a²+b²=4．向量：

OP

=x

OA

+y

OB

（x，y∈R），且a2(x-

1

2

)2+b2(y-

1

2

)2=1．
（1）如果點M為線段AB的中點，求證：

MP

=(x-

1

2

)

OA

+(y-

1

2

)

OB

；
（2）求丨

OP

丨的最大值，并求此時四邊形OAPB面積的最大值．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義,向量的模

專題：平面向量及應用

分析：（1）由點M為線段AB的中點，得

OM

=

1

2

OA

+

1

2

OB

，連同已知代入

MP

=

OP

-

OM

可證；
（2）設點M為線段AB的中點，則由

OA

⊥

OB

知|

MA

|=|

MB

|=|

MO

|=

1

2

|

AB

|=1．由（1）及a2(x-

1

2

)2+b2(y-

1

2

)2=1，可得|

MP

|²=1，從而可判斷P，O，A，B四點都在以M為圓心、1為半徑的圓上，
易知OP為圓M的直徑時，|

OP

|max=2．利用基本不等式可求得四邊形OAPB的面積的最大值；

解答： 解：（1）因為點M為線段AB的中點，
所以

OM

=

1

2

OA

+

1

2

OB

，
所以

MP

=

OP

-

OM

=（x

OA

+y

OB

）-（

1

2

OA

+

1

2

OB

）=（x-

1

2

）

OA

+（y-

1

2

）

OB

．
（2）設點M為線段AB的中點，則由

OA

⊥

OB

知|

MA

|=|

MB

|=|

MO

|=

1

2

|

AB

|=1．
又由（1）及a2(x-

1

2

)2+b2(y-

1

2

)2=1，得|

MP

|²=|

OP

-

OM

|²=(x-

1

2

)2

OA

²+(y-

1

2

)2

OB

2=a2(x-

1

2

)2+b2(y-

1

2

)2=1，
所以|

MP

|=|

MO

|=|

MA

|=|

MB

|=1．
故P，O，A，B四點都在以M為圓心、1為半徑的圓上，
所以當且僅當OP為圓M的直徑時，|

OP

|max=2．
這時四邊形OAPB為矩形，則S_{四邊形OAPB}=|

OA

|•|

OB

|=ab≤

a2+b2

2

=2，
所以當且僅當a=b=

2

時，四邊形OAPB的面積最大，最大值為2．

點評：本題考查平面向量基本定理及其意義、向量的模等知識，有一定難度．