Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S₃=21，a_3n=a_2n+a_n+1，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若存在常數(shù)k，使不等式k≥

an+1

Sn+8

（n∈N^*）恒成立，求k的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得

3a1+ 3×2 2 d=21 a1+(3n-1)d=a1+(2n-1)d+a1+(n-1)d+1

，由此求出公差與首項(xiàng)，從而能求出a_n=4n-1．
（2）求出S_n=2n²+n，從而得到

an+1

Sn+8

=

4n

2n2+n+8

=

4

2n+ 8 n +1

，由此利用均值定理能求出k的最小值．

解答： 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S₃=21，a_3n=a_2n+a_n+1，n∈N^*．
∴

3a1+ 3×2 2 d=21 a1+(3n-1)d=a1+(2n-1)d+a1+(n-1)d+1

，
解得a₁=3，d=4，
∴a_n=4n-1．
（2）∵a₁=3，d=4，
∴S_n=3n+

n(n-1)

2

×4=2n²+n，
∴

an+1

Sn+8

=

4n

2n2+n+8

=

4

2n+ 8 n +1

≤

4

2 2n• 8 n +1

=

4

9

，（當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)取等號(hào)）
∴k≥

4

9

，∴k的最小值是

4

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查實(shí)數(shù)的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意均值定理的合理運(yùn)用．