Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，正△PF₁F₂的中心恰為橢圓的上頂點(diǎn)A，且

AF1

•

AF2

=-2．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過點(diǎn)P的直線l與橢圓E交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上，△BMN是以角B為頂角的等腰直角三角形，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）先確定a=2b，∠F₁AF₂=

2π

3

，利用

AF1

•

AF2

=a²cos

2π

3

=-2，即可求出a，b，從而可得橢圓E的方程；
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+3，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，根據(jù)MN中點(diǎn)為G，所以BG⊥MN，|MN|=2|BG|，即可求直線l的方程．

解答： 解：（1）正△PF₁F₂的邊長為2c（c為橢圓E的半焦距），且點(diǎn)P在y軸上
依題意

3

2

•2c•

1

3

=b，∴c²=3b²，∴a=2b  …（1分）
∵∠F₁AF₂=

2π

3

，
∴

AF1

•

AF2

=a²cos

2π

3

=-2． …（3分）
∴a=2，b=1，
∴橢圓E的方程為

x2

4

+y2=1…（4分）
（2）由（1）知，正△PF₁F₂的邊長為2

3

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，3）
若直線l的斜率不存在，M，N即橢圓E的上下頂點(diǎn)，顯然當(dāng)點(diǎn)B為（-1，0）或（1，0）時(shí)，
△BMN是以角B為頂角的等腰直角三角形，此時(shí)直線l的方程為x=0 …（6分）
若直線l的斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為y=kx+3，
與

x2

4

+y2=1聯(lián)立得（4k²+1）x²+24kx+32=0，
△=64（k²-2）＞0，∴k²＞2 …（7分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），B（m，0），MN中點(diǎn)為G（x₀，y₀），
∴x₀=

-12k

4k2+1

，y₀=

3

4k2+1

∵BG⊥MN，
∴k•

3 4k2+1

-12k 4k2+1 -m

=-1，
∴m=-

9k

4k2+1

…（9分）
|BG|=

3(k2+1)

(4k2+1) k2+1

 …（10分）
|MN|=

8 1+k2 × k2-2

4k2+1

 …（11分）
∵|MN|=2|BG|，
∴

8 1+k2 × k2-2

4k2+1

=2•

3(k2+1)

(4k2+1) k2+1

 
∴k²=

41

16

，∴k=±

41

4

且滿足k²＞2 …（12分）
∴直線l的斜率存在時(shí)，直線方程為y=±

41

4

x+3 …（13分）
綜上，所求直線l的方程為y=±

41

4

x+3和x=0 …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力．