Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的函數，f（x）=-f（-x），且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0，有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）證明函數f（x）在[-1，1]上是增函數；
（2）若f（x-1）＜f（2x），求x的取值范圍．
（3）附加題（5分）：若f（x）≤-2am+2，對所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數單調性的判斷與證明,奇偶性與單調性的綜合

專題：綜合題

分析：（1）任取-1≤x₁＜x₂≤1，f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

．(x1-x2)，由此能夠證明f（x）在[-1，1]上是增函數．
（2）由f（x）在[-1，1]上是增函數，f（x-1）＜f（2x），知

x-1＜2x -1≤x-1≤1 -1≤2x≤1

，由此能求出x的取值范圍．
（3）由f（x）在[-1，1]上是增函數，知f_max（x）=f（1）=1，要使f（x）≤-2am+2，對所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，只需2am-1≤0，由此能求出實數m的取值范圍．

解答： （1）證明：任取-1≤x₁＜x₂≤1，
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

．(x1-x2)
∵

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

＞0，x₁-x₂＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[-1，1]上是增函數
（2）解：∵f（x）在[-1，1]上是增函數，f（x-1）＜f（2x），
∴

x-1＜2x -1≤x-1≤1 -1≤2x≤1

，
整理，得

x＞-1 0≤x≤2 - 1 2 ≤x ≤ 1 2

∴x的取值范圍是：{x|0≤x≤

1

2

}．
（3）解：∵f（x）在[-1，1]上是增函數，
∴f_max（x）=f（1）=1，
∵要使f（x）≤-2am+2，對所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
只需-2am+2≥1，
即2am-1≤0，
設g（a）=2ma-1，
∴

g(-1)≤0 g(1)≤0

，即

-2m-1≤0 2m-1≤0

，
解得-

1

2

≤m≤

1

2

．

點評：本題考查函數恒成立問題的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易錯點是要使f（x）≤-2am+2，對所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，只需-2am+2≥1，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．