Question

已知無窮等差數列{a_n}，首項a₁=3，公差d=-5，依次取出項的序號被4除余3的項組成數列{b_n}
（1）求b₁和b₂；
（2）求{b_n}的通項公式；
（3）{b_n}中的第110項是{a_n}中的第幾項？

Answer 1

考點：等差數列的前n項和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知條件推導出等差數列{a_n}的通項公式為a_n=a₁+（n-1）d=8-5n，令取出項為m，則需滿足m=4n+3，由此能求出b₁，b₂．
（2）由題設條件推導出{b_n}也為等差數列，且首項為d₁=-27，公差為d′=-20，由此能求出b_n．
（3）由m=4（n-1）+3，n∈N^*，能求出{b_n}中的第110項是{a_n}中的第439項．

解答： 解：（1）由題意，等差數列{a_n}的通項公式為a_n=a₁+（n-1）d=8-5n，
令取出項為m，則需滿足m=4（n-1）+3，n∈N^*
∴b₁=a₃=8-5×3=-7，
b₂=a₇=8-5×7=-27．
（2）∵取出的序號成等差數列，
∴所對應的項組成的新數列{b_n}也為等差數列，且首項為d₁=-7，公差為d′=-20，
∴b_n=b₁+（n-1）d′
=-7+（n-1）×（-20）=13-20n．
（3）∵m=4（n-1）+3，n∈N^*
∴當n=110時，
m=4×109+3=439項，
∴{b_n}中的第110項是{a_n}中的第439項．

點評：本題考查等差數列的通項公式的求法及應用，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數列的性質的靈活運用．