Question

20．已知直線l：y=2x+1及曲線C：y=x²-2x+sinθ．
①求證：直線l與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
②求線段AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)；
③求弦長(zhǎng)|AB|的最值．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立直線方程和拋物線方程，運(yùn)用判別式即可得證；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可得到；
（3）運(yùn)用弦長(zhǎng)公式，化簡(jiǎn)整理，由正弦函數(shù)的值域即可得到最值．

解答 解：（1）證明：聯(lián)立y=2x+1及曲線C：y=x²-2x+sinθ．
可得x²-4x+sinθ-1=0，
由判別式△=16-4（sinθ-1）=20-4sinθ＞0恒成立，
則直線l與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（1）可得x₁+x₂=4，
即有$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=2，由直線y=2x+1可得中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4+1=5，
即有AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，5）；
（3）由（1）可得x₁+x₂=4，x₁x₂=sinθ-1，
可得|AB|=$\sqrt{1+4}$•$\sqrt{{4}^{2}-4（sinθ-1）}$=$\sqrt{5}$•$\sqrt{20-4sinθ}$，
當(dāng)sinθ=1時(shí)，取得最小值4$\sqrt{5}$；當(dāng)sinθ=-1時(shí)，取得最大值2$\sqrt{30}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和拋物線的位置關(guān)系，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，和弦長(zhǎng)公式及最值的求法，屬于中檔題．