Question

已知S_n是正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且S_n=

1

4

a_n²+

1

2

a_n-

3

4

（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；     
（2）若a_n=2ⁿb_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）運(yùn)用a_n=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n＞1

即可求出a_n；
（2）運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，即可求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（1）∵S_n=

1

4

an2+

1

2

a_n-

3

4

，
∴S_n-1=

1

4

an-12+

1

2

a_n-1-

3

4

，
∴a_n=S_n-S_n-1=

1

4

（an2-an-12）+

1

2

（a_n-a_n-1）（n≥2），
∵正項(xiàng)數(shù)列{a_n}，
∴a_n-a_n-1=2，易得a₁=3，
∴a_n=2n+1；
（2）∵a_n=2ⁿb_n
∴b_n=

an

2n

=

2n+1

2n

∴Tn=

2×1+1

21

+

2×2+1

22

+…+

2n+1

2n

1

2

Tn=

2×1+1

22

+

2×2+1

23

+…+

2(n-1)+1

2n

+

2n+1

2n+1

上面兩式相減得，

1

2

T_n=

3

2

+

2

22

+

2

23

+…+

2

2n

-

2n+1

2n

=

3

2

+2•

1-( 1 2 )n-1

1- 1 2

-

2n+1

2n+1

，
∴T_n=5-（2n+5）

1

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)的求法和求和方法，主要考查運(yùn)用a_n與S_n的關(guān)系式和錯(cuò)位相減法，屬于中檔題．