Question

設(shè)雙曲線(xiàn)

x2

4

-

y2

3

=1的左，右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過(guò)F₁的直線(xiàn)l交雙曲線(xiàn)左支于A，B兩點(diǎn)，則|BF₂|+|AF₂|的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可得：a=2，再由雙曲線(xiàn)的定義可得：|AF₂|-|AF₁|=2a=4，|BF₂|-|BF₁|=2a=4，所以得到|AF₂|+|BF₂|-（|AF₁|+|BF₁|）=8，再根據(jù)A、B兩點(diǎn)的位置特征得到答案．

解答： 解：根據(jù)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程線(xiàn)

x2

4

-

y2

3

=1，得：a=2，
由雙曲線(xiàn)的定義可得：|AF₂|-|AF₁|=2a=4…①，
|BF₂|-|BF₁|=2a=4…②，
①+②可得：|AF₂|+|BF₂|-（|AF₁|+|BF₁|）=8，
∵過(guò)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)F₁的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)的左支于A，B兩點(diǎn)，
∴|AF₁|+|BF₁|=|AB|，當(dāng)|AB|是雙曲線(xiàn)的通經(jīng)時(shí)|AB|最小．
∴|AF₂|+|BF₂|-（|AF₁|+|BF₁|）=|AF₂|+|BF₂|-|AB|=8．
|BF₂|+|AF₂|=|AB|+8≥

2b2

a

+8=11．
故答案為：11．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩條線(xiàn)段和的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的合理運(yùn)用．