設(shè)矩陣M=
a0
0b
（其中a＞0，b＞0）．
（1）若曲線C：x2+y2=1在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下得到曲線C′：
x2
4
+y2=1，求a，b的值；
（2）若a=2，b=3，
a
=
1
2
，求M3
a
．
考點(diǎn)：變換、矩陣的相等
專題：選作題,矩陣和變換
分析：（1）設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y），它在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下得到點(diǎn)P′（x′，y′），可得
x′=ax
y′=by
，利用點(diǎn)P′（x′，y′）在曲線C′上，可得曲線C的方程，根據(jù)已知曲線C的方程，比較系數(shù)可得結(jié)論；
（2）求出特征值與特征向量，即可求M3
a
．
解答： 解：（1）由
x′
y′
=M
x
y
得
x′=ax
y′=by
?…2分
將式代入曲線C′的方程得
(ax)2
4
+(by)2=1…3分
∴
a2
4
=1
b2=1
，
∵a＞0，b＞0，
∴a=2，b=1；…6分
（2）當(dāng)a=2，b=3時(shí)矩陣M的特征多項(xiàng)式方程為f（λ）=（λ-2）（λ-3）=0…7分
∴λ1=2，λ2=3…8分
又屬于λ1=2的一個(gè)特征向量為
α1
=
1
0
；屬于λ2=3的一個(gè)特征向量為
α2
=
0
1
．…10分
而
α
=
α1
+2
α2
，
∴M3
α
=1•23
α1
+2•33
α2
=
8
54
．…13分．
點(diǎn)評：本題考查矩陣變換的應(yīng)用，特征值與特征向量，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

學(xué)校操場邊有一條小溝，溝沿是兩條長150米的平行線段，溝寬AB為2米，與溝沿垂直的平面與溝的交線是一段拋物線，拋物線的頂點(diǎn)為O，對稱軸與地面垂直，溝深2米，溝中水深1米．
（Ⅰ）求水面寬；
（Ⅱ）如圖1所示形狀的幾何體稱為柱體，已知柱體的體積為底面積乘以高，求溝中的水有多少立方米？
（Ⅲ）現(xiàn)在學(xué)校要把這條水溝改挖（不準(zhǔn)填土）成截面為等腰梯形的溝，使溝的底面與地面平行，溝深不變，兩腰分別與拋物線相切（如圖2），問改挖后的溝底寬為多少米時(shí)，所挖的土最少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在（1+x+x2）n=D
 
0
n
+D
 
1
n
x+D
 
2
n
x2+…+D
 
r
n
xr+…+D
 
2n-1
n
x2n-1+D
 
2n
n
x2n的展開式中，把D
 
0
1
，D
 
1
n
，D
 
2
n
，…，D
 
2n
n
叫做三項(xiàng)式系數(shù)．
（1）當(dāng)n=2時(shí)，寫出三項(xiàng)式系數(shù)D
 
0
2
，D
 
1
2
，D
 
2
2
，D
 
3
2
，D
 
4
2
的值；
（2）類比二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)C
 
m
n+1
=C
 
m-1
n
+C
 
m
n
（1≤m≤n，m∈N，n∈N），給出一個(gè)關(guān)于三項(xiàng)式系數(shù)D
 
m+1
n+1
（1≤m≤2n-1，m∈N，n∈N）的相似性質(zhì)，并予以證明；
（3）求D
 
0
2014
C
 
0
2014
-D
 
1
2014
C
 
1
2014
+D
 
2
2014
C
 
2
2014
-D
 
3
2014
C
 
3
2014
+…+D
 
2014
2014
C
 
2014
2014
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)p：函數(shù)f（x）=
x2-4x+a2
的定義域?yàn)镽；q：?m∈[-1，1]，a2-5a-5≥m2恒成立；如果“p∨q”為真命題，且“p∧q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y=lnx的切線l，該切線l與曲線y=lnx及x軸圍成圖形為D．
（1）求切線l的方程．
（2）求區(qū)域D的面積S．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={x|（x-1）（x-2a-3）＜0}，函數(shù)y=lg
x-(a2+2)
2a-x
的定義域?yàn)榧螧．
（1）若a=1，求集合A∩∁RB
（2）已知a＞-1且“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=4sinωx•sin2（
π
4
+
ωx
2
）+cos2ωx  （ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）在[
π
6
，
2π
3
]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P（2，-1），且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為2，圓M的圓心在直線2x+y=0上，且與直線l相切于點(diǎn)P．
（1）求直線l的方程；
（2）求圓M的方程；
（3）求圓M在y軸上截得的弦長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若x，y＞0，且x+2y=1，則u=
x+1
x
•
y+1
4y
的最小值是
 
．

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同步練習(xí)冊答案