Question

已知復數(shù)z₁=1+3i
求（1）z₁

.

z1

+z₁+

.

z1

的值；
（2）若|

z2

1+2i

|=

2

，z₁z₂為純虛數(shù)，求復數(shù)z₂．

Answer 1

考點：復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,復數(shù)求模

專題：數(shù)系的擴充和復數(shù)

分析：（1）利用共軛復數(shù)的定義、復數(shù)的運算法則即可得出；
（2）利用純虛數(shù)的定義、復數(shù)的運算法則、模的計算公式即可得出．

解答： 解：（1）∵復數(shù)z₁=1+3i，∴

.

z1

=1-3i，
∴z₁

.

z1

+z₁+

.

z1

=（1+3i）（1-3i）+1+3i+（1-3i）=10+2=12．
（2）設z₂=x+yi，∵z₁z₂=（1+3i）（x+yi）=x-3y+（3x+y）i為純虛數(shù)，∴x-3y=0，3x+y≠0．
∵|

z2

1+2i

|=|

x+yi

1+2i

|=|

(x+yi)(1-2i)

(1+2i)(1-2i)

|=|

x+2y+(y-2x)i

5

|=

( x+2y 5 )2+( y-2x 5 )2

=

2

，
化為x²+y²=10．
聯(lián)立

x-3y=0 x2+y2=10 3x+y≠0

，解得

x=3 y=1

或

x=-3 y=-1

．
∴z₂=±（3+i）．

點評：本題考查了共軛復數(shù)的定義、復數(shù)的運算法則、純虛數(shù)的定義、模的計算公式，屬于基礎題．