Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+x-2（a∈R），g（x）=x³+x²+3x-2
（1）若函數(shù)f（x）有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈[1，3]，不等式f（x）＜g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）分a=0和a≠0兩種情況討論，對(duì)于后者利用跟的判別式求解即可；
（2）將不等式f（x）＜g（x）轉(zhuǎn)化為a＜x+1+

2

x

，利用基本不等式解決即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax²+x-2，
∴當(dāng)a=0時(shí)，由f（x）=x-2=0得，函數(shù)f（x）有零點(diǎn)2，
當(dāng)a≠0時(shí)，函數(shù)f（x）有零點(diǎn)等價(jià)于△=1-8a≥0，
即a≤

1

8

且a≠0，
綜上可得，若函數(shù)f（x）有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，

1

8

]；
（2）∵f（x）=ax²+x-2（a∈R），g（x）=x³+x²+3x-2，
∴不等式f（x）＜g（x）可化為，
ax²＜x³+x²+2x…①，
又∵x∈[1，3]，
∴①可化為a＜x+1+

2

x

，
根據(jù)基本不等式可知，
x+1+

2

x

≥2

2

+1，當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

時(shí)等號(hào)成立，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，2

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查零點(diǎn)存在性定理，基本不等式的靈活應(yīng)用，屬于中檔題．