Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=3•（

3

2

）^n-1-1（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b_n=

an+1

log 3 2 an+1

（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式，并說明{a_n}是否為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{

1

bn

}的前n項和前T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）再寫一式，兩式相減，可得a_n=(

3

2

)n-1，由此可求數(shù)列{a_n}通項公式，從而判斷{a_n}不是等比數(shù)列；
（2）確定

1

bn

=n•(

2

3

)n，利用錯位相減求和即可

解答： 解：（1）n=1時，a₁=S₁=2；
n≥2時，S_n-1=3•（

3

2

）^n-2-1，
兩式相減可得a_n=(

3

2

)n-1，
∴a_n=

2，n=1 ( 3 2 )n-1，n≥2

，
∴{a_n}不是等比數(shù)列；
（2）b_n=

an+1

log 3 2 an+1

=

1

n

•(

3

2

)n，
∴

1

bn

=n•(

2

3

)n，
∴T_n=

2

3

+2•(

2

3

)2+…+n•(

2

3

)n，
∴

2

3

T_n=(

2

3

)2+2•(

2

3

)3+…+（n-1）•(

2

3

)n+n•(

2

3

)n+1，
兩式相減整理可得T_n=6-（6+2n）•(

2

3

)n．

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解通項公式，數(shù)列的錯位相減求和方法的應(yīng)用是求和的重點，要注意掌握