Question

下列條件中，是“△ABC為等腰三角形”的充分不必要條件的個數(shù)為（　�。�
①asinA=bsinB    ②acosA=bcosB    ③acosB=bcosA    ④asinB=bsinA．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷,兩角和與差的正弦函數(shù),正弦定理

專題：簡易邏輯

分析：分別根據(jù)正弦定理和充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．

解答： 解：①由正弦定理可知若asinA=bsinB，則a²=b²，
∴asinA=bsinB是“△ABC為等腰三角形”的充分不必要條件，∴①正確．
②由正弦定理可知acosA=bcosB，則sinAcosA=sinBcosB，
即

1

2

sin2A=

1

2

sin2B，
∴sin2A=sin2B，即2A=2B或2A=π-2B，
∴A=B或A+B=

π

2

，即△ABC為等腰三角形或者是直角三角形，
∴acosA=bcosB是“△ABC為等腰三角形”的必要不充分條件，∴②錯誤．
 ③由正弦定理可知若acosB=bcosA，
則sinAcosB=sinBcosA，即sin（A-B）=0，
∴A=B，∴acosB=bcosA是“△ABC為等腰三角形”的充分不必要條件，∴③正確．
④由正弦定理可知若asinB=bsinA．
則sinAsinB=sinBsinA．此時對任何三角形都成立，∴asinB=bsinA不是充分不必要條件，∴④錯誤，
故正確是①③，
故選：B．

點評：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用正弦定理是解決本題的關鍵．