Question

在R上可導(dǎo)的函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+2bx+c，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)取得極大值，當(dāng)x∈（1，2）時(shí)取得極小值，則

b-4

a-3

的取值范圍是（　　）

• A、（-

  1

  2

  ，

  1

  2

  ）
• B、（-

  1

  2

  ，

  1

  4

  ）
• C、（

  1

  4

  ，1）
• D、（

  1

  2

  ，1）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：據(jù)極大值點(diǎn)左邊導(dǎo)數(shù)為正右邊導(dǎo)數(shù)為負(fù)，極小值點(diǎn)左邊導(dǎo)數(shù)為負(fù)右邊導(dǎo)數(shù)為正得a，b的約束條件，據(jù)線性規(guī)劃求出最值．

解答： 解：∵f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+2bx+c，∴f′（x）=x²+ax+2b
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1]內(nèi)取得極大值，在區(qū)間（1，2]內(nèi)取得極小值
∴f′（x）=x²+ax+2b=0在（0，1]和（1，2]內(nèi)各有一個(gè)根
f′（0）＞0，f′（1）≤0，f′（2）≥0
即

b＞0 a+2b+1≤0 a+b+2≥0

，區(qū)域的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），（-1，0），（-3，1），

b-4

a-3

表示點(diǎn)A（3，4）與可行域內(nèi)的點(diǎn)B連線的斜率，
當(dāng)（-1，0）時(shí)，

b-4

a-3

最大，最大為1；
當(dāng)（-3，1）時(shí)，

b-4

a-3

最小，最小為

1

2

．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，以及會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃的能力．