Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S₁₀=0，且S_n≥-5對一切n∈N^*恒成立，則此等差數(shù)列{a_n}公差d的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，

  2

  5

  ]
• B、[0，

  2

  5

  ]
• C、[-

  5

  2

  ，0）
• D、[0，

  5

  2

  ]

Answer 1

考點：等差數(shù)列的前n項和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：設出等差數(shù)列{a_n}的首項，由S₁₀=0得到首項和公差的關系，把等差數(shù)列的前n項和用含有公差d和n的代數(shù)式表示，再由關于n的函數(shù)對一切n∈N^*恒成立列式求得d的取值范圍．

解答： 解：設等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，
由S₁₀=0，得10a1+

10×(10-1)d

2

=10a1+45d=0，
∴a1=-

9

2

d．
由S_n≥-5，得：
na1+

n(n-1)d

2

=-

9d

2

n+

d

2

n2-

d

2

n=

d

2

n2-5dn≥-5．
由S_n≥-5對一切n∈N^*恒成立，
得dn²-10dn+10≥0對一切n∈N^*恒成立，
∴d≥0且△≤0，
即100d²-40d≤0．
解得0≤d≤

2

5

．
∴公差d的取值范圍是[0，

2

5

]．
故選：B．

點評：本題考查等差數(shù)列的前n項和，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，訓練了利用二次不等式恒成立的條件求解參數(shù)的范圍，是中檔題．