Question

已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R．
（1）解不等式f（x）≤5；
（2）若不等式m²-m＜f（x），?x∈R都成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）原不等式等價于

x＜ 1 2 4-4x≤5

①，或

1 2 ≤x≤ 3 2 2≤5

②，或

x＞ 3 2 4x-4≤5

③．分別求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．
（2）利用絕對值三角不等式求得f（x）的最小值為2，可得 m²-m＜2，由此解得實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）原不等式等價于

x＜ 1 2 4-4x≤5

 ①，或

1 2 ≤x≤ 3 2 2≤5

②，或

x＞ 3 2 4x-4≤5

③．
解①求得-

1

4

≤x＜

1

2

，解②求得

1

2

≤x≤

3

2

，解③求得

3

2

＜x≤

9

4

，
因此不等式的解集為[-

1

4

，

9

4

]．
（2）∵f（x）=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-（2x-3）|=2，
∴m²-m＜2，解得-1＜m＜2，
即實數(shù)m的取值范圍為（-1，2）．

點評：本題主要考查絕對值三角不等式的應(yīng)用，絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．